Об авторе    Исследования    Авторское    Интересное   Форум    Магазин   Скачать    Пожертвования   Помощь    Обратная связь
Главная страница
Расширенный поиск
Главная страница

Официальный сайт Сергея Николаевича Лазарева

Теорема Гёделя о неполноте [видео]

Среда, 04 Апр. 2012

Всякая система математических аксиом начиная с определенного уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна.

Теорема Гёделя — синтаксическая версия

В 1900 году в Париже прошла Всемирная конференция математиков, на  которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов  сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые  предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым  номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на  которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже.

Говоря  современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая  задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система  аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу  без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет  математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать  такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы,  а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности  или ложности любого утверждения.

Возьмем пример из школьной геометрии. В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии  на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма  углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов  треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то  в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и  третьего не дано. И в начале ХХ века математики наивно полагали, что  такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой  системе.

И тут в 1931 году какой-то венский очкарик — математик Курт Гёдель —  взял и опубликовал короткую статью, попросту опрокинувшую весь мир так  называемой «математической логики». После долгих и сложных  математико-теоретических преамбул он установил буквально следующее.  Возьмем любое утверждение типа: «Предположение №247 в данной системе  аксиом логически недоказуемо» и назовем его «утверждением A». Так вот,  Гёдель попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

Иными словами, если можно доказать справедливость утверждения «предположение 247 недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «предположение 247 доказуемо».  То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если  система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть  доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной  системы аксиом. То есть, приходиться мириться с тем, что в контексте  любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые  являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их  истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же  таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в  ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно  одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой, или слабой теоремы Гёделя о неполноте:  «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения».  Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую, или сильную теорему Гёделя о неполноте:  «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть  доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения  требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный  характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической  логики, однако фактически оказалось, что они напрямую связаны с  устройством человеческого мозга. Английский математик и физик Роджер  Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931) показал, что теоремы Гёделя можно  использовать для доказательства наличия принципиальных различий между  человеческим мозгом и компьютером. Смысл его рассуждения прост.  Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно  или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие  утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются.

Человек же,  столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым  утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность —  исходя из повседневного опыта. По крайней мере, в этом человеческий  мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами.  Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной  в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда.

Следовательно, человеческий  мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен  принимать решения, и тест Тьюринга пройдет успешно.

Интересно, догадывался ли Гильберт, как далеко заведут нас его вопросы?

Курт ГЁДЕЛЬ  - Kurt Gödel,  1906–78

Австрийский, затем американский математик. Родился в г. Брюнн (Brünn,  ныне Брно, Чехия). Окончил Венский университет, где и остался  преподавателем кафедры математики (с 1930 года — профессором).

В  1931 году опубликовал теорему, получившую впоследствии его имя. Будучи  человеком сугубо аполитичным, крайне тяжело пережил убийство своего  друга и сотрудника по кафедре студентом-нацистом и впал в глубокую  депрессию, рецидивы которой преследовали его до конца жизни.

В  1930-е годы эмигрировал было в США, но вернулся в родную Австрию и  женился.

В 1940 году, в разгар войны, вынужденно бежал в Америку  транзитом через СССР и Японию. Некоторое время проработал в Принстонском  институте перспективных исследований. К сожалению, психика ученого не  выдержала, и он умер в психиатрической клинике от голода, отказываясь  принимать пищу, поскольку был убежден, что его намереваются отравить.

Источник: http://elementy.ru/trefil/21142
Мнение автора и администрации сайта не всегда может совпадать с мнением авторов представленных материалов.

Следующая запись: Тест Тьюринга [видео]

Предыдущая запись: Берд Киви - Книга о странном

Комментарии

Чтобы размещать комментарии, вам нужно зарегистрироваться